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Note
Mathematics for Biological Networks Paris Dec 17-18, 2007.
| Statistiques des motifs |
|---|
Mots de fréquence exceptionnelle dans les
séquences d'ADN
Mots de répartition exceptionnelle le long de l'ADN
Mot(if)s corépartis le long des séquences
Les notions de sous-représentations et sur-représentations n'ont de sens que
dans un modèle : le comptage observé est comparé à un comptage attendu
calculé dans un modèle s'ajustant à la séquence d'ADN. La suite des
bases A, G, C et T du génome est modélisée par des chaînes de Markov
qui peuvent être d'ordre 1 ou plus élevé, avec des transitions
homogènes ou périodiques (prise en compte de la période 3 dans les
parties codantes), ... Pour les séquences d'ADN codantes, des modèles
conditionnés par la traduction en acides aminés ont été étudiés.
C'est la loi du comptage qui détermine si le comptage observé est
significativement différent du comptage attendu sous le modèle
choisi. Pour déterminer la loi du comptage, plusieurs approches ont
été utilisées.
Deux asymptotiques ont d'abord été considérées conduisant à des
approximations de la loi du comptage par des gaussiennes ou par une
loi de Poisson composée (cette dernière se réduit à une loi de Poisson
simple si le mot n'est pas recouvrant).
Le logiciel R'MES
se base ainsi sur ces deux approximations pour identifier les mots
exceptionnels d'une séquence.
Si l'on met en balance le temps de calcul et la qualité des
approximations de la loi du comptage, nous aboutissons aux conclusions
suivantes : il est préférable d'utiliser la loi exacte pour des
séquences d'au plus quelques dizaines de milliers de paires de
bases. Pour les séquences plus longues, il est judicieux d'utiliser
une loi gaussienne pour les mots fréquents (comptage attendu>> 100),
et une loi de Poisson composée pour les mots rares (comptages attendus
<< 100).
Nous avons aussi étudié une approche de grandes déviations pour détecter
les mots exceptionnels. Cette
approche permet d'approcher efficacement la queue de distribution du
comptage, quantité intéressante pour juger de l'exceptionnalité d'un mot.
Elle est implémenté dans le logiciel Spat.
La plupart de nos résultats se généralisent à des mots dégénérés ou
plus généralement à des familles de mots.
Nous avons ensuite généralisé ces résultats à un modèle plus pertinent
qui tient compte de la fréquence du ou des mots : il s'agit d'un
modèle de Poisson composé pour les occurrences de mots.
L'utilisation du logiciel R'HOM a aussi mis en évidence sa capacité à
délimiter les régions codantes dans les génomes bactériens. Des développements
spécifiques ont été effectués en ce sens afin de réaliser un détecteur de
gènes. C'est donc, entre autre, ce que permet le logiciel
SHOW.
Nous nous intéressons aussi à des modèles semi-markoviens cachés qui permettent de s'affranchir de
l'hypothèse géométrique des temps de séjour dans chacun des états
cachés.
Afin de rendre mieux compte de l'hétérogénéïté des séquences ADN, nous
étudions un nouveau modèle qui est en fait un prolongement des modèles de
chaînes de Markov cachées : il s'agit de faire varier continûment la matrice
de transition le long de la séquence (par exemple, en nous fixant une matrice
de départ Pi_0 et une d'arrivée Pi_1, nous pourrions considérer une évolution
linéaire de la matrice de transition Pi_k le long de la séquence :
Pi_k = (1- k/n)Pi_0 + (k/n) Pi_1 où n est la longueur de la séquence)
Nous parlons ici de chaînes de Markov régulées et ces modèles pourraient
refléter plusieurs aspects biologiques des séquences tels une évolution douce
entre deux états d'une chaîne de Markov cachée ou bien une évolution le long
d'un gène (par exemple, la répartition des sites de restriction chez
Escherichia coli : il y en a beaucoup au début puis de moins en moins).
La comparaison de deux séquences biologiques joue un rôle
primordial dans l'analyse des données issues de la biologie moléculaire.
Pour effectuer ces comparaisons, nous attribuons des pondérations,
appelées scores, aux différents couples de composants de
ces séquences (nucléotides ou acides aminés) et recherchons
la ou les régions qui correspondent au score maximal, appelé
score local.
Nous avons regardé deux approches qui diffèrent de celle de Karlin
et al. utilisée dans BLAST.
Les résultats peuvent être facilement généralisés
aux cas des suites à dépendance markovienne.
Nous avons entrepris en 2000 d'étudier la co-répartition de motifs le
long d'un génome. L'un de nos objectifs était de détecter des motifs dont
les occurrences sur une séquence ne sont pas indépendantes les unes
des autres. Cette propriété
pourrait en effet traduire leur appartenance à un même
processus biologique lié à l'ADN. Nous voulons de plus caractériser
les liens entre ces occurrences de motifs, à savoir quelles seraient
les distances évitées ou au contraires favorisées entre ces motifs.
Nous travaillons sur plusieurs projets liés à l'analyse des
biopuces. Dans le cadre de l'analyse différentielle, nous modélisons
la variance de l'expression différentielle des gènes au moyen d'un
modèle de mélange. L'une des difficultés consiste à choisir le nombre
de classes. Nous avons aussi abordé la problématique des tests
multiples (contrôle du taux de faux positifs, FDR).
Un autre thème est la classification supervisée.
Nous somme aussi impliqués dans un travail de segmentation de
processus pour l'étude de puces CGH, travail qui fait ici encore appel
à un problème de sélection de modèles (choix du nombre de ruptures et
choix des niveaux de ces ruptures).
Le thème fondateur du groupe est
la détection de mots dont le
nombre d'occurrences est inattendu dans les séquences d'ADN.
On parle donc de mots sous-représentés et sur-représentés,
voire "exceptionnels".
Ce caractère exceptionnel est bien souvent la conséquence d'une fonction
biologique qui est liée à ces mots et qui peut renvoyer à la maintenance,
la réplication ou l'expression du génome.
Le mot CHI de longueur 8 est un
exemple de mot sur-représenté dans le génome de la bactérie
E. coli ; il intervient dans la protection du génome. Au
contraire, les sites de restriction des bactéries fragilisent l'ADN
qui les porte ; ils sont sous-représentés dans le génome bactérien.
Nous étudions également les chaînes de Markov à ordre variable qui
permettent de réduire la dimension des modèles utilisés.
Puis nous avons déterminé la loi exacte du comptage en calculant sa
fonction génératrice dans un modèle de chaîne de Markov d'ordre 1. Les
probabilités ponctuelles peuvent en fait s'obtenir à l'aide d'une
récurrence. Les temps de calculs pour la loi exacte sont toutefois
important pour des séquences de plusieurs dizaines de milliers de paires
de bases.
Une façon d'étudier la répartition d'un ou plusieurs mots dans
une séquence biologique est de considérer les distances qui séparent
ses (ou leurs) occurrences successives. Pour pouvoir
effectuer une étude locale de cette répartition, il convient, de plus,
de disposer de résultats valables pour des séquences courtes i.e.
des lois exactes et non asymptotiques. Sous l'hypothèse que
la séquence étudiée est une chaîne de Markov (d'ordre 1), nous avons
établi les lois exactes
Ces résultats sont essentiellement fondés sur les propriétés des
fonctions génératrices et des processus semi-markoviens.
Le calcul effectif des différentes probabilités se fait par récurrence
et implique donc des
temps de calcul assez longs pour les longues séquences (> 100 000 bps).
De plus, quand on étudie
plusieurs mots, les fonctions génératrices sont obtenues grâce à un
logiciel de calcul symbolique.
Ces résultats permettent de détecter des mots non seulement fréquents,
mais ayant de plus une
distribution particulièrement régulière (c'est le cas des mots ayant une
fonction de protection du
génome). Ils permettent également de détecter des zones particulièrement
riches en un mot ou en une
famille de mots (comme le CHI de H. influenzae,
Nous nous intéressons à la prise en compte de
l'hétérogénéité observée des séquences d'ADN dans la modélisation.
Un exemple connu des biologistes est l'alternance de plages "riches en
G+C" et de plages "pauvres en G+C". Il est ainsi réaliste de
considérer que se succèdent des plages (dont on ignore a priori la
longueur et la position) et que l'on dispose de 2 (voire 3, 4, ...)
modèles, de sorte que l'un de ces modèles s'ajuste au
mieux sur chaque plage. Cette hétérogénéité est prise en compte par
des modèles de chaînes de Markov cachées où
l'on suppose que les plages correspondent aux états non
observés d'une chaîne de Markov. Il s'agit alors de reconstruire ces
plages à partir de la séquence observée et d'estimer les paramètres
des modèles régissant chacune. Différents algorithmes d'identification
des chaînes cachées ont été comparés (EM, SEM, Gibbs, ...).
Le logiciel R'HOM permet ainsi
d'identifier les plages homogènes d'une séquence et d'estimer les
paramètres du modèle de chaînes de Markov cachées sous-jacent.
Il a été utilisé notamment avec succès pour détecter des transferts
horizontaux dans certains génomes bactériens.
Construire la carte physique du génome d'un organisme, ou disons d'un
chromosome, consiste à recouvrir le chromosome à l'aide de plus petits
fragments d'ADN qui se chevauchent. Ces fragments sont obtenus en
coupant plusieurs copies du chromosome, par exemple par digestion
partielle par des enzymes de restrictions ou par ultra-sons.
On dispose donc d'une bibliothèque de fragments (appelés clones)
Pour détecter les chevauchements entre les clones, plusieurs méthodes
peuvent être
utilisées. Dans la méthode par ancrage, celle qui nous intéresse ici,
on utilise une bibliothèque d'ancres, qui sont des fragments
d'ADN de seulement quelques dizaines de bases ne devant apparaître
qu'une unique fois sur le chromosome. Ainsi, si deux clones pris au
hasard dans la bibliothèque contiennent au moins une ancre en commun
(détecté par PCR ou par hybridation), c'est qu'ils se chevauchent sur
le chromosome. On peut ainsi assembler les clones qui contiennent des
ancres en commun pour former des ``contigues'' ou des îles.
On s'intéresse ici à l'approche consistant à générer les ancres
``aléatoirement'', contrairement à des approches où par exemple les
ancres sont les extrémités des clones.
Une des questions importantes pour planifier un projet de cartographie
physique est de pouvoir prédire son progrès, c'est à dire de prédire
le nombre d'îles, leur longueur moyenne, la proportion de génome qui
sera recouvert par les îles, ..., en fonction du nombre de clones
et du nombres d'ancres. L'idée est de trouver un compromis entre le
coût du projet (lié au nombre d'expériences et donc au nombre de clones
et d'ancres) et le résultat, notamment la proportion de génome
recouvert par les îles. Ce problème nécessite de modéliser les
positions des clones et des ancres le long du chromosome.
Sous l'hypothèse de représentativité du chromosome
par la bibliothèque de clones et d'homogénéité pour celle d'ancres,
le modèle le plus utilisé est celui de deux processus de Poisson homogènes
indépendants pour les ancres et les fins de clones, et des clones de
longueurs i.i.d.
Les données de cartographie physique se multipliant, on s'aperçoit que
les hypothèses d'homogénéité le long du génome faites ci-dessus
ne sont pas réalisées en pratique, notamment à cause du biais de clonage
bien connu des biologistes. Nous avons ainsi étudier
l'effet de deux types d'hétérogénéité sur les prédictions
des résultats d'un projet de cartographie physique. La première source
d'inhomogénéité réside dans la répartition des clones et des ancres le
long du chromosome; on utilise alors des processus de Poisson non homogènes.
La seconde réside dans la distribution de la longueur des clones qui peut
varier avec la position des clones le long du chromosome.
Le problème statistique est de tester si le score calculé
est significatif ou non, afin de mettre en évidence un lien biologique
éventuel entre les séquences.
L'un de nos objectifs est donc de déterminer la distribution du score local.
Nous modélisons les séquences par une suite
de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées
à valeurs entières.
Nous nous plaçons tout d'abord sous l'hypothèse de scores
négatifs en moyenne. En utilisant la théorie des marches
aléatoires, nous établissons la distribution
du maximum des sommes partielles qui se présente comme
l'unique distribution invariante d'une chaîne de Markov. Cette distribution
s'écrit comme la combinaison linéaire de suites récurrentes
définies à partir de racines d'un polynôme qui dépend
directement de la distribution des scores. Nous tirons de ce résultat
une nouvelle approximation asymptotique de la distribution du score local
qui améliore numériquement celle donnée par Karlin
et al..
D'autre part, la distribution du score local
est ensuite obtenue en utilisant la théorie des chaînes de
Markov. Ce résultat, valable pour des scores en moyenne négatifs,
positifs ou bien nuls, se présente sous la forme de puissances d'une
certaine matrice. On en déduit une approximation pour la distribution
du score local de deux séquences avec décalage.
Notre démarche consiste alors à considérer les occurrences d'un motif
comme un processus
ponctuel dont l'intensité est celle du modèle linéaire de Hawkes
et à estimer les paramètres intervenant dans cette intensité, en
particulier les profils d'influence entre les mots. Ces profils sont
décomposés sur une base de fonctions et l'estimation se fait en
minimisant un contraste. On adopte alors une approche de sélection de
modèle pour déterminer l'estimateur optimal.